东南大学的公开课

2.35 引子

零状态响应的求解

思想：将任意信号分解为一系列基本信号的和或积分；求线性系统对各个子信号的响应；子信号响应的叠加（线性系统）。

重点：1）选取什么样的标准信号；2）怎么样来分解；3）怎么求对子信号的响应；4）怎么求最终响应。

 

2.4 奇异信号

上面提到的子信号，需要完备性（有能力表达很多信号），简单性（容易求系统响应）

奇异函数：1）阶跃函数 $\epsilon(t) = 1(t>=0) =1(t<0)$

                  2)  冲激函数 $\delta (t)$  宽度为t,高度1/t, t趋于0。

这两种函数都是理想的，实际不存在

冲激函数的取样特性：$\int_{-}^{+}f(t)\delta (t - t_0)dt = f(t_0) $。冲激函数不一定是方波，也可以是其它，只要满足取样特性

冲激函数的导数：冲击偶

 

把任意信号分割成一系列子信号（基于阶跃函数

 

 

 基于冲激函数

 

 

 2.6卷积积分

2.6.1杜阿美积分，4：44，（通过阶跃响应求解子信号之和

$e(t) -> \int_{0}^{t} e^{'}(\tau) r_{ \epsilon}(t - \tau)d \tau$， $r(t)$是系统的阶跃响应

这种积分因为需要信号连续可导，所以实际不太使用。

2.6.2卷积积分，卷积积分

 $e(t) -> \int_{0}^{t} e^(\tau) h(t - \tau)d \tau$，$h(t)$是系统的冲激响应

卷积的定义$x(t) *(卷积符号) y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)y(t - \tau)d\tau$

卷积的性质：交换律，分配律，结合律

微分：$x(t) *y(t) = dx(t)/dt * y(t) = dx(t) * dy(t)/dt$

积分：$\int_{-\infty}^{t} x(\tau) *y(\tau) d \tau = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau * y(t) =  = \int_{-\infty}^{t} y(\tau)d \tau * x(t) $